Как известно все натуральные целые числа, кроме единицы имеют по меньшей мере два делителя: единицу и само себя. Те из них, которые не имеют, никаких других делителей называются «простыми». Те числа, которые имеют еще и другие делители называются «составными». Единицу принято, не относить ни к простым ни к составным числам.
То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид 3 век до н.э.). Первой важной задачей теории числе, как определить является ли произвольное число простым или нет.
Первое что может прийти в голову, – это делить данное число на все числа меньшее его. Но надо признать , что этот способ мало удовлетворителен. Некоторые энтузиасты – вычислители за последние 200 лет составили и издали много таблиц простых чисел. Одна из обширных таблиц является таблица Д. Х.Леметра, содержащая все простые числа до 10 000 000. Появились уже таблицы превосходящие это число.
В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами, и многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из всех известных простых чисел.
Основное направление решения задал французский монах Мерсенна (1588–1648г.г.), который начал вычислять простые числа по формуле М>р =2>р – 1, где р- другое простое число. Однако не все они оказались простыми. Например :
М>2 = 2>2–1 = 3 – простое
М>3 = 2>3–1 = 5 – простое
М>5 = 2>5–1 = 31 – простое
М>7 = 2>7–1 = 127 – простое
М>11 = 2>11–1 = 2047 = 23*89 – составное
Самостоятельно вычислил простое число М>31 Леонардо Эйлер (1707–1783 гг) – выдающийся швейцарский математик большую часть жизни проведший в России. Эйлерово число М>31 оставалось самым большим простым числом более 100 лет. Следующим выдающимся математиком который вывел формулу простых чисел был Пьер Ферма (1601–1665гг) , который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами по его формуле вычисляются: F>p = 2>2^p + 1, были F>0 = 2>2^0 + 1 =3
F>1 = 2>2^1 + 1 = 5
F>2 = 2>2^2 + 1 =17
F>3 = 2>2^3 + 1 = 257
F>4 = 2>2^4 + 1=65537
Однако все тот же Леонардо Эйлер показал, что число F>5 является составным.
Общее решение задачи простых чисел показал древнегреческий математик из Александрии Эратосфен (около 200г. до н.э.) с помощью следующей схемы, которая называется «Решетом Эратосфена».
Его схема состоит в следующем: имеется последовательность всех целых чисел:1,( 2), (3), 4, (5), 6, (7), 8, 9, 10,(11), 12, (13), 14, 15, 16, (17), 18, (19), 20, 21 …подчеркивается каждое второе число начиная с 2 (кроме самого числа 2). После этой операции первым подчеркнутым числом будет 3 оно простое взятое в скобки, как и другие простые числа также.
Оставив число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т.е. числа 6, 9, 12, 15…, мы их подчеркиваем дважды, а которые пунктиром означает тройное подчеркивание, а некоторые из них уже были подчеркнуты поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое. Оставив число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т.е. числа 10,15,20,25,…; как и раньше часть из них уже оказалась подчеркнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7, тоже простое. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел, все они (кроме числа 1) являются простыми. С помощью компьютеров получены простые числа до 100 000 000.