Читать Рассуждения об основах математики
1. Введение
Эта книга есть логическое продолжение рассуждений о связи математики и опыта. Начало этим рассуждениям было положено в недавно вышедшей в свет книге [1], в которой сейчас для нас наиболее важны пятая и шестая её главы. Затем появились ещё две важные по этой теме статьи [2], [3]. Все изложенное в этой книге и в этих статьях, мы будем считать известным, а потому настоятельно рекомендуется сначала ознакомиться с их содержанием. Сейчас становится целесообразным объединить всё, имеющее отношение к основам математики в одну книгу, что здесь и сделано. Заметим, что основания физики и основания математики на деле не различаются; в их основе лежат экспериментальные факты. Но физика использует математический аппарат, а поэтому различие между физикой и математикой (в их основаниях) становится практически неразличимым. В такой ситуации трудно различить: где начинается (и кончается) физика, а где начинается математика, и наоборот. Вот почему мы полагаем, что и книгу [1] и данную здесь книгу нужно рассматривать как единое целое.
Мы продолжаем здесь опровергать некоторые устойчивые заблуждения и мифы, имеющие давнее происхождение. Многие из нас интуитивно понимают, что с неевклидовыми геометриями и теорией относительности «что-то не ладно». В этой книге мы покажем, что это «что-то не ладно» возникает из-за той идеалистической позиции, которую занимают математики и физики-теоретики при изучении законов природы. Мы здесь будем говорить лишь о традиционной геометрии и математике, то есть о тех, с которых обычно начинается их изучение в средней школе. В частности, в них имеются понятия геометрической фигуры, числа, имеются знаки: <, =, >. Имеются также простейшие операции: сложение, умножение, вычитание, деление. Однако читатель, ознакомившись с изложенным здесь, легко увидит, что все сказанное в книге будет справедливо и для других разделов математики.
Кратко напомним самое важное для нас здесь из [1].
а) геометрия начинается с экспериментальных фактов, называемых иначе построениями
б) определения и аксиомы геометрии и математики есть рациональное осмысление экспериментальных фактов (построений)
в) критерием существования геометрической фигуры в реальном пространстве является аксиома существования
г) в реальном пространстве существует только одна геометрия это – евклидова геометрия.
Добавим ещё здесь, что в книге часто будут напоминаться банальные истины, но они будут чередоваться с тем, о чем мы ещё не думали. Но так бывает всегда, когда речь заходит об основах науки. Банальные истины начинают забываться в процессе длительного обучения, а потому их приходится напоминать.
Основная часть
1. Рациональное и иррациональное осмысление экспериментальных фактов
Мы не будем здесь давать строгое определение понятию рационального осмысления экспериментальных фактов (оно вряд ли возможно). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми примерами из науки рационального и нерационального (иррационального) осмысления экспериментальных фактов.
Пример 1. Геометрия. Геометр строит фигуры: точки, прямые, окружности и так далее. Существование всех этих реальных фигур есть экспериментальный факт. Как осмысливает эти экспериментальные факты геометр? Он говорит: «Я допущу, что в реальном пространстве существуют не только те реальные фигуры, которые я построил, но и идеальные фигуры, которые я буду строить, имея также для этого идеальные инструменты. А это значит, что могут быть построены и существуют идеальные фигуры (идеальная точка, идеальная прямая, идеальная окружность и так далее)». Это – рациональное осмысление экспериментальных фактов. В самом деле. Существование идеальных фигур в реальном пространстве нисколько не меняет ни свойств самого пространства, ни свойств самих реальных фигур. Реальные и идеальные фигуры существуют в одном (общем для них) реальном пространстве, нисколько не мешая друг другу. А вот изучать свойства фигур целесообразно начинать со свойств идеальных фигур. После того, как это будет сделано, достаточно сравнить свойства реальных фигур со свойствами идеальных фигур. И что же мы увидим? Мы увидим, что свойства реальных фигур тем меньше отличаются от свойств идеальных фигур, чем точнее построена эта реальная фигура. И отличие свойств реальной фигуры от идеальной всегда может быть выражено с известной степенью точности. Во всех этих рассуждениях особо следует подчеркнуть важность материалистического подхода к изучению законов реального пространства. Началом всему являются экспериментальные факты. Не было бы этих фактов, нечего было бы и осмысливать.